Variação diretamente proporcional

Quando duas variáveis ​​estão relacionadas de tal forma que a razão entre seus valores permanece sempre a mesma, diz-se que as duas variáveis ​​estão em variação direta.

Em termos mais simples, isso significa que se A é sempre o dobro de B, então eles variam diretamente . Se um litro de leite custa R$ 3, e eu compro 1 litro, o custo total é de R$ 3. Se eu comprar 10 litros, o preço é R$ 30. Neste exemplo, o custo total do leite e o número de litros comprados estão sujeitos a variação direta, a razão entre o custo e o número de litros é sempre 3.

Para ser mais "geométrico" sobre isso, se y varia diretamente como x, então o gráfico de todos os pontos que descrevem essa relação é uma linha que passa pela origem (0, 0) cuja inclinação é chamada de constante de variação. Isso porque cada uma das variáveis ​​é um múltiplo constante da outra, como no gráfico abaixo:

Conceitos de variação diretamente proporcional:

Como faço para reconhecer uma variação diretamente proporcional em uma equação?

A equação$\frac{y}{x}=6$afirma que y varia diretamente com x, já que a razão de y para x (também escrita y/x) nunca muda. O número 6 na equação $\frac{y}{x}=6$ é chamada de constante de variação. A equação $\frac{y}{x}=6$também pode ser escrito na forma equivalente isolando uma variável, $y=6x$. Essa forma mostra que y é sempre 6 vezes maior que x.

Da mesma forma, para a equação $y=\frac{x}{3}$, a constante de variação é $\frac{1}{3}$. A equação nos diz que, para qualquer valor de x, y sempre será 1/3 do valor.

Interpretação Algébrica da Variação Diretamente proporcional

Para uma equação da forma $y=ax$, multiplicar x por algum valor fixo também multiplica y pelo mesmo valor. Se dobrarmos x, também dobraremos o valor de y correspondente.

O que isto significa?

Por exemplo, como o perímetro P de um quadrado varia diretamente com o comprimento de um lado de um quadrado, podemos dizer que P = 4s, onde o número 4 representa os quatro lados de um quadrado e s representa o comprimento de um lado. Essa equação nos diz que o perímetro é sempre quatro vezes o comprimento de um único lado, mas também nos diz que dobrar o comprimento dos lados dobra o perímetro que ainda será quatro vezes maior no total.

Interpretação Geométrica da Variação Direta

A equação $y=kx$é um caso especial de equação linear ($y=ax+b$) onde a interceptação y é igual a 0. (Nota: a equação$y=ax+b$é a forma de interceptação de inclinação, onde a é a inclinação e b é a interceptação de y). De qualquer forma, uma reta passando pela origem (0,0) sempre representa uma variação direta entre y e x. A inclinação desta linha é a constante de variação. Em outras palavras, na equação$y=ax$, 'a' é a constante de variação.

Exemplo A:

Se y varia diretamente com x, e $y=\mathrm{8\; quando}$$x=12$, encontre 'a' e escreva uma equação que expresse essa variação.

Plano de Ataque:

Insira os valores dados na equação $y=ax$.

Resolva para a.

Em seguida, substitua 'a' pelo seu valor na equação$y=ax$.

Passo a passo:

Comece com nossa equação padrão:$y=ax$

Insira nossos valores conhecidos:$8=a.12$

Divida ambos os lados por 12 para encontrar a:

$\frac{8}{12}=\mathrm{a1212}$

$\frac{2}{3}=a$

A seguir: voltar para$y=ax$e substitua 'a' por$\frac{2}{3}$.

Resultado:

$$y=\frac{2}{3}x$$

Exemplo B:

Se y varia diretamente com x, e $y=24$ quando$x=16$, encontre y quando $x=12$.

Plano de Ataque:

Quando duas grandezas variam diretamente, sua razão é sempre a mesma. Criaremos duas proporções, igualaremos uma à outra e, em seguida, resolveremos a quantidade que falta.

Passo a passo:

Os números dados formam uma razão que podemos escrever como$\frac{y}{x}$:$\frac{24}{16}$

Para encontrar y quando$x=12$ configuramos outra proporção:$\frac{y}{12}$

Resolver:

Por definição, ambas as razões são iguais:

$$\frac{24}{16}=\frac{y}{12}$$

Podemos simplificar a fração 24/12 e teremos 3/2:

$$\frac{3}{2}=\frac{y}{12}$$

Agora podemos multiplicar cada lado por 12 para resolver para y:

$$\frac{3}{2}\mathrm{.\; 12\; =\; y}$$

Resultado:

y = 18 quando  x = 12