Valor absoluto

Qual é o valor absoluto de um número?

O valor absoluto de um número n é a distância do número n de zero. O valor absoluto é indicado por barras verticais como | n  | , e é lido em voz alta como "o valor absoluto de ene".

(Existe uma definição técnica para valor absoluto, mas, a menos que você chegue a fazer cálculos, provavelmente nunca a verá.)

Como usaremos a definição intuitiva baseada em linha numérica, vamos começar observando a linha numérica:

O valor absoluto de um número, sendo a distância desse número a partir de zero, sempre será um número positivo (ou zero, se você estiver tomando o valor absoluto de zero). Os valores absolutos nunca são negativos, porque o valor absoluto apenas pergunta "quão longe?", Não "em que direção?" Isso significa não apenas que | 3 | = 3 , porque 3 está três unidades à direita de zero, mas também | −3 | = 3 , porque −3 está três unidades à esquerda de zero. Você pode ver isso na seguinte linha numérica:

Observação: a notação de valor absoluto é um par de barras, não parênteses, colchetes ou chaves. Certifique-se de usar a notação adequada; as outras notações não significam a mesma coisa.

É importante observar que as barras de valor absoluto NÃO funcionam da mesma forma que os parênteses. Enquanto −(−3) = +3 , NÃO é assim que funciona para o valor absoluto, como ilustra o exemplo a seguir.

• Simplifique −| −3 | .

Dado −| −3 | , primeiro preciso lidar com a parte do valor absoluto, obtendo o positivo do interior (ou seja, o positivo do "argumento de") do valor absoluto e, em seguida, convertendo as barras de valor absoluto em parênteses:

−| −3 | = −(+3)

Agora posso tirar o negativo entre parênteses:

−| −3 | = −(+3) = −3

Como isso ilustra, se você tirar o negativo de um valor absoluto (isto é, se tiver um sinal de "menos" na frente das barras de valor absoluto), obterá um número negativo para sua resposta.

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Qual é o valor absoluto de -8 ?

• Simplifique | −8 | .

| −8 | = 8

• Simplifique | 0 − 6 | .

| 0 − 6 | = | −6 | = 6

• Simplifique | 5 − 2 | .

| 5 − 2 | = | 3 | = 3

• Simplifique | 2 − 5 | .

| 2 − 5 | = | −3 | = 3

• Simplifique | 0(−4) | .

| 0(−4) | = | 0 | = 0

Por que o valor absoluto de zero é igual a " 0 "? Pergunte a si mesmo: a que distância está zero de 0 ? Zero unidades, certo? Então | 0 | = 0 .

• Simplifique | 2 + 3(−4) | .

| 2 + 3(−4) | = | 2 − 12 | = | −10 | = 10

• Simplifique −| −4 | .

−| −4| = −(4) = −4

Nos próximos três exemplos, preste atenção especial à diferença que a localização do quadrado faz em relação aos sinais de "menos".

• Simplifique −| (-2) 2 | .

−| (-2) 2 | = −| 4 | = −4

• Simplifique −| −2 | 2

−| −2 | 2 = −(2) 2 = −(4) = −4

• Simplifique (−| −2 |) 2 .

(−| −2 |) 2 = (−(2)) 2 = (−2) 2 = 4

Às vezes, você será solicitado a inserir um sinal de desigualdade entre dois valores absolutos, como:

• Insira a desigualdade correta: | −4 | _____ | −7 |

Enquanto −4 > −7 (porque está mais à direita na reta numérica do que −7 ), estou lidando aqui com os valores absolutos. Desde a:

| −4 | = 4

| −7 | = 7 ,

...e como 4 < 7 , então a solução é:

| −4 |   <   | −7 | .

Quando o número dentro do valor absoluto (o "argumento do" valor absoluto) era positivo de qualquer maneira, não mudamos o sinal quando tomamos o valor absoluto. Mas quando o argumento era negativo, mudamos o sinal; ou seja, mudamos o "mais" "entendido" para um "menos". Isso leva a um ponto complicado que pode não aparecer em sua lição de casa agora, mas provavelmente aparecerá em testes mais tarde.

Quando você está lidando com variáveis , não pode dizer o sinal do número ou o valor contido nessa variável. Por exemplo, dada a variável x , você não pode dizer, apenas olhando, se existe, digamos, um " 2 " ou um " −4 " dentro dela. Se eu lhe perguntasse o valor absoluto de x , o que você faria? Como você não pode dizer, apenas olhando para a letra, se a variável contém ou não um valor positivo ou negativo, você teria que considerar esses dois casos diferentes.

Se x > 0 (isto é, se x for positivo ou zero), o valor não mudará quando você tomar o valor absoluto. Por exemplo, se x = 2 , então você tem | x | = | 2 | = 2 = x . De fato, para qualquer valor positivo de x , ou se x for igual a zero, o sinal permaneceria inalterado, então:

Para x > 0, | x | = x

Por outro lado, se x < 0 (ou seja, se x for negativo), ele mudará de sinal quando você tomar o valor absoluto. Por exemplo, se x = −4 , então | x | = | −4 | = + 4 = −(−4) = − x . Na verdade, para qualquer valor negativo de x , o sinal teria que ser trocado, então:

Para x < 0, | x | = − x

Este é um caso em que o sinal de "menos" na variável não indica "um número à esquerda de zero", mas "uma mudança de sinal de qualquer que seja o sinal originalmente". Este "-" não significa que "o número é negativo", mas sim que "mudei o sinal no valor original".

• Deve − x ser negativo? Por que ou por que não?

Não, não precisa ser negativo:

Se o valor original de x fosse negativo, então − x , a versão de sinal oposto de x , teria que ser positivo. Por exemplo, se eu começar com x = −3 , então − x = −(−3) = +3 , que é positivo.