Raiz enésima

A "n-ésima raiz" usada n vezes em uma multiplicação fornece o valor original

"enésimo?"

1º , 2º , 3º , 4º , 5º , ... nº ...

Em vez de falar sobre o "4º", "16º", etc... podemos dizer apenas o " nº ".

A raiz enésima

• A "2ª" raiz é a raiz quadrada
• A "3ª" raiz é a raiz cúbica
• etc...

2		√ a .  √ a = a		A raiz quadrada usada duas vezes em uma multiplicação dá o valor original.
3		3√ a . 3√ a . 3√ a= a		A raiz cúbica usada três vezes em uma multiplicação fornece o valor original.
n		n√ a . n√ a . ... . n√ a = a (n deles)		A raiz n usada n vezes em uma multiplicação dá o valor original.

Portanto, é a maneira geral de falar sobre raízes
(então pode ser 2, ou 9, ou 324, ou qualquer outra)

O símbolo da raiz enésimo

  

Este é o símbolo especial que significa "n-ésima raiz", é o símbolo "radical" (usado para raízes quadradas) com um n minúsculo para significar a raiz n- ésima.

Usando isso

Poderíamos usar a enésima raiz em uma pergunta como esta:

Pergunta: O que é "n" nesta equação?

n√625 = 5

Resposta: Devamos lembrar que 625 = 5 ⁴ , então a quarta raiz de 625 deve ser 5:

4√625 = 5

Ou poderíamos usar "n" porque queremos dizer coisas gerais:

Exemplo: Quando n é ímpar então   n√a ⁿ = a   (falaremos sobre isso mais tarde).

Propriedades

Agora que sabemos o que é uma raiz n-ésima, vejamos algumas propriedades:

Multiplicação e divisão

Podemos "separar" multiplicações sob o sinal de raiz assim:

n√ab = n√a  . n√b
( Nota: se n for par então a e b devem ser ambos ≥ 0)

Isso pode nos ajudar a simplificar equações em álgebra e também facilitar alguns cálculos:

Exemplo:

3√128 = 3√64×2 = 3√64 . 3√2 = 43√2

Assim, a raiz cúbica de 128 simplifica para 4 vezes a raiz cúbica de 2.

Também funciona para divisão:

n√a/b = n√a / n√b
( a≥0 e b>0)
Observe que b não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero

Exemplo:

3√1/64 = 3√1 / 3√64 = 1/4

Portanto, a raiz cúbica de 1/64 é simplificada para apenas um quarto.

Adição e subtração

Mas não podemos fazer esse tipo de coisa para adições ou subtrações!

   n√a + b ≠ n√a + n√b

   n√a − b ≠ n√a − n√b

   n√a ⁿ + b ⁿ ≠ a + b

Exemplo: Teorema de Pitágoras diz

a 2 + b 2 = c 2

Então, calculamos c assim:

c = √a ² + b ²

O que não é o mesmo que c = a + b , certo?

É uma armadilha fácil de cair, então cuidado 

Expoentes x Raízes

Um expoente de um lado de "=" pode ser transformado em uma raiz do outro lado de "=":

Se  a ⁿ = b   então  a = n√b

Nota: quando n é par, então b deve ser ≥ 0

Exemplo:

5 ⁴ = 625   então  5 =4√625

 

Enésima Raiz e enésima-potência

Quando um valor tem um expoente de n e tiramos a enésima raiz recuperamos o valor novamente ...

... quando a é positivo (ou zero):

(quando a ≥ 0 )

Exemplo:

... ou quando o expoente é ímpar :

(quando n é ímpar )

Exemplo:

... mas quando a é negativo e o expoente é par, obtemos isso:

Você viu que -3 se tornou +3?

... então devemos fazer isso:

(quando a < 0 e n é par )

O |a| significa o valor absoluto de a , ou seja, qualquer negativo se torna positivo.

Exemplo:

Então isso é algo para se ter cuidado!

Aqui está em uma pequena tabela:

	n é ímpar	n é par
a ≥ 0
a < 0

 

E-nésima Raiz e E-mésima-potência

O que acontece quando o expoente e a raiz são valores diferentes ( m e n )?

Bem, podemos alterar a ordem assim:

n√a ^m = (n√a ) ^m

Então isto: n-ésima raiz de (a elevado a m)
torna-se (n-ésima raiz de a) elevado a m

Exemplo:

3√27 ² = (3√27 ) ²
= 3 ²
= 9

Mais fácil do que elevar 27 ao quadrado e então tirar uma raiz cúbica, certo?

Mas existe um método ainda mais poderoso ... podemos combinar o expoente e a raiz para fazer um novo expoente, assim:

n√a ^m = a^mn

O novo expoente é a fraçãomnque pode ser mais fácil de resolver.

Exemplo:

3√4 ⁶ = 4^6/3 

= 4²
= 16

Isso funciona porque a raiz n é igual a um expoente de (1/n)

n√a = a¹ⁿ

Exemplo:

2√9 =9¹² = 3