Quadrados e raízes quadradas

 Quadrados e Raízes Quadradas

Primeiro vamos aprenda sobre Quadrados, e então as Raízes Quadradas ficaram mais fáceis.

Como Quadrar um Número

Para elevar um número ao quadrado: multiplique-o por ele mesmo .

Exemplo: Quanto é 3 ao quadrado?

3 ao quadrado

=

= 3 × 3 = 9

 

"Quadrado" geralmente é escrito como um pequeno 2 assim:

Isso diz "4 ao quadrado é igual a 16"
(o pequeno 2 diz que o número aparece duas vezes na multiplicação)

Quadrados De 0 ² a 6 ²

0 ao quadrado	=	0 2	=	0 × 0	=	0
1 quadrado	=	1 2	=	1 × 1	=	1
2 ao quadrado	=	2 2	=	2 × 2	=	4
3 ao quadrado	=	3 2	=	3 × 3	=	9
4 ao quadrado	=	4 2	=	4 × 4	=	16
5 ao quadrado	=	5 2	=	5 × 5	=	25
6 ao quadrado	=	6 2	=	6 × 6	=	36

 

Os quadrados também estão na Tabela de Multiplicação :

Números Negativos

Também podemos elevar ao quadrado os números negativos .

Exemplo: O que acontece quando elevamos ao quadrado (−5) ?

Responder:

(−5) × (−5) = 25

(porque um negativo vezes um negativo dá um positivo)

Isso foi interessante!

Quando elevamos ao quadrado um número negativo , obtemos um resultado positivo .

Exatamente o mesmo que elevar ao quadrado um número positivo:

Raízes quadradas

Uma raiz quadrada é o oposto da potenciação:

3 ao quadrado é 9, então raiz quadrada de 9 é 3

A raiz quadrada de um número é...

... um valor que pode ser multiplicado por si mesmo para dar o número original.

A raiz quadrada de 9 é...

... 3 , porque quando 3 multiplicado por si mesmo obtemos 9 .

É como perguntar:

Qual número multiplicado por ele mesmo que resultará no valor que está inserido na raiz?

O símbolo da raiz quadrada

Este é o símbolo especial que significa "raiz quadrada". É chamado de radical e sempre faz a matemática parecer importante!

Exemplo:

e dizemos "raiz quadrada de 9 é igual a 3"

Exemplo: Quanto é √ 25?

25 = 5 × 5, ou seja, quando multiplicamos 5 por ele mesmo (5 × 5) obtemos 25

Então a resposta é:

√25 = 5

Mas espere um minuto! A raiz quadrada também não pode ser −5 ? Porque (-5) × (-5) = 25 também.

• Bem, a raiz quadrada de 25 pode ser -5 ou +5.
• Mas quando usamos o símbolo radical √ damos apenas o resultado positivo (ou zero) .

Exemplo: Quanto é √36 ?

Resposta: 6 × 6 = 36, então √36 = 6

Quadrados Perfeitos

Os Quadrados Perfeitos (também chamados de "Números Quadrados") são os quadrados dos inteiros:

	Quadrados Perfeitos
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144
13	169
14	196
15	225
	etc...

Calculando Raízes Quadradas

É fácil calcular a raiz quadrada de um quadrado perfeito., mas pode ser mais trabalhoso calcular outras raízes quadradas.

Exemplo: quanto é √10?

Bem, 3 × 3 = 9 e 4 × 4 = 16, então podemos supor que a resposta esteja entre 3 e 4.

• Vamos tentar 3,5: 3,5 × 3,5 = 12,25
• Vamos tentar 3,2: 3,2 × 3,2 = 10,24
• Vamos tentar 3,1: 3,1 × 3,1 = 9,61
• ...

Chegando perto de 10, mas vai demorar muito para conseguir uma boa resposta!

Nesse ponto, podemos pegar nossa calculadora e ela diz: 3,1622776601683793319988935444327 Mas os dígitos continuam, sem nenhum padrão. Portanto, mesmo a resposta da calculadora é apenas uma aproximação !

Nota: números como esse são chamados Números irracionais.

Uma maneira divertida de calcular uma raiz quadrada

Existe um método divertido para calcular uma raiz quadrada que fica cada vez mais preciso:

	a) comece com um palpite (suponhamos que 4 é a raiz quadrada de 10)
	b) divida pelo palpite (10/4 = 2,5) c) adicione isso ao palpite (4 + 2,5 = 6,5) d) depois divida esse resultado por 2, em outras palavras, reduza pela metade. (6,5/2 = 3,25) e) agora, defina isso como o novo palpite e recomece em b)

 

• Nossa primeira tentativa nos levou de 4 para 3,25
• Indo de novo ( b para e ) nos dá: 3.163
• Indo de novo ( b para e ) nos dá: 3,1623

E assim, depois de 3 voltas, a resposta é 3,1623, o que é muito bom, porque:

3,1623 x 3,1623 = 10,00014

Como adivinhar

E se tivermos que adivinhar a raiz quadrada de um número difícil como "82 163"...?

Nesse caso, poderíamos pensar que "82 163" tem 5 dígitos, então a raiz quadrada pode ter 3 dígitos (100x100=10,000), e a raiz quadrada de 8 (o primeiro dígito) é cerca de 3 (3x3=9), então 300 é um bom começo.