Habilidades (EM13MAT41, EM13MAT402, EM13MAT13, EM13MAT104, EM13MAT313)
Álgebra
Álgebra é o ramo da matemática que auxilia na representação de problemas ou situações na forma de expressões matemáticas. Envolve variáveis como x, y, z e operações matemáticas como adição, subtração, multiplicação e divisão para formar uma expressão matemática significativa. Todos os ramos da matemática, como trigonometria, cálculo, geometria coordenada, envolvem o uso da álgebra. Um exemplo simples de uma expressão em álgebra é 2x + 4 = 8.
A álgebra lida com símbolos e esses símbolos são relacionados entre si com a ajuda de operadores. Não é apenas um conceito matemático, mas uma habilidade que todos nós usamos em nossa vida diária, mesmo sem perceber. Compreender a álgebra como um conceito é mais importante do que resolver equações e encontrar a resposta certa, pois é útil em todos os outros tópicos de matemática que você aprenderá no futuro ou já aprendeu no passado.
O que é Álgebra?
A álgebra é um ramo da matemática que lida com os símbolos e as operações aritméticas entre esses símbolos. Esses símbolos não possuem valores fixos e são chamados de variáveis. Em nossos problemas da vida real, muitas vezes vemos certos valores que continuam mudando. Mas há uma necessidade constante de representar esses valores mutáveis. Aqui na álgebra, esses valores são frequentemente representados com símbolos como x, y, z, p ou q, e esses símbolos são chamados de variáveis. Além disso, esses símbolos são manipulados por meio de várias operações aritméticas de adição , subtração, multiplicação e divisão, com o objetivo de encontrar os valores.
As expressão algébrica acima é composta de uma variável, um operador e duas constantes. Aqui os números 4 e 28 são constantes, x é a variável e a operador é a soma.
Ramos da álgebra
A complexidade da álgebra é simplificada pelo uso de numerosas expressões algébricas. Com base no uso e na complexidade das expressões, a álgebra pode ser classificada em vários ramos listados abaixo:
- Pré-álgebra
- álgebra elementar
- álgebra abstrata
- álgebra universal
Pré-álgebra
As formas básicas de apresentar os valores desconhecidos como variáveis ajudam a criar expressões matemáticas. Ele ajuda a transformar problemas da vida real em uma expressão algébrica em matemática. Formar uma expressão matemática da declaração do problema dado faz parte da pré-álgebra.
Álgebra elementar
A álgebra elementar lida com a solução de expressões algébricas para uma resposta viável. Na álgebra elementar, variáveis simples como x, y, são representadas na forma de uma equação. Com base no grau da variável, as equações são chamadas de equações lineares, equações quadráticas, polinômios. As equações lineares são da forma ax + b = c, ax + by + c = 0, ax + by + cz + d = 0. A álgebra elementar baseada no grau das variáveis se ramifica em equações quadráticas e polinômios. Uma forma geral de representação de uma equação quadrática é ax 2 + bx + c = 0, e para uma equação polinomial, é ax n + bx n-1 + cx n-2 + .....k = 0.
Álgebra abstrata
A álgebra abstrata lida com o uso de conceitos abstratos como grupos, anéis, vetores, em vez de sistemas numéricos matemáticos simples. Os anéis são um nível simples de abstração encontrado escrevendo as propriedades de adição e multiplicação juntas. A teoria dos grupos e a teoria dos anéis são dois conceitos importantes da álgebra abstrata. A álgebra abstrata encontra inúmeras aplicações em ciências da computação, física, astronomia e usa espaços vetoriais para representar quantidades.
Álgebra universal
Todas as outras formas matemáticas envolvendo trigonometria, cálculo , geometria de coordenadas envolvendo expressões algébricas podem ser consideradas como álgebra universal. Em todos esses tópicos, a álgebra universal estuda expressões matemáticas e não envolve o estudo de modelos de álgebra. Todos os outros ramos da álgebra podem ser considerados como o subconjunto da álgebra universal. Qualquer um dos problemas da vida real pode ser classificado em um dos ramos da matemática e pode ser resolvido usando álgebra abstrata.
Expressões algébricas
Uma expressão algébrica em álgebra é formada usando constantes inteiras , variáveis e operações aritméticas básicas de adição (+), subtração (-), multiplicação (×) e divisão (/). Um exemplo de expressão algébrica é 5x + 6. Aqui 5 e 6 são números fixos ex é uma variável. Além disso, as variáveis podem ser variáveis simples usando alfabetos como x, y, z ou podem ter variáveis complexas como x 2 , x 3 , x n , xy, x 2 y, etc. Expressões algébricas também são conhecidas como polinômios. Um polinômio é uma expressão que consiste em variáveis (também chamadas de indeterminadas), coeficientes e expoentes inteiros não negativos de variáveis. Exemplo: 5x3 + 4x2 + 7x + 2 = 0.
Uma equação é uma declaração matemática com um símbolo 'igual a' entre duas expressões algébricas que têm valores iguais.
Tipos de equações:
- Equações lineares: As equações lineares ajudam a representar a relação entre variáveis como x, y, z e são expressas em expoentes de um grau. Nessas equações lineares, usamos a álgebra, partindo do básico, como a adição e subtração de expressões algébricas.
- Equações quadráticas : Uma equação quadrática pode ser escrita na forma padrão como ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c são constantes ex é a variável. Os valores de x que satisfazem a equação são chamados de soluções da equação, e uma equação quadrática tem no máximo duas soluções.
- Equações cúbicas: As equações algébricas com variáveis com potência 3 são referidas como equações cúbicas. Uma forma generalizada de uma equação cúbica é ax3 + bx2 + cx + d = 0. Uma equação cúbica tem inúmeras aplicações em cálculo e geometria tridimensional ( Geometria 3D ).
Fórmulas algébricas
Uma identidade algébrica é uma equação que é sempre verdadeira, independentemente dos valores atribuídos às variáveis. Identidade significa que o lado esquerdo da equação é idêntico ao lado direito, para todos os valores das variáveis. Essas fórmulas envolvem quadrados e cubos de expressões algébricas e ajudam a resolver as expressões algébricas em algumas etapas rápidas. As fórmulas algébricas frequentemente usadas estão listadas abaixo.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- (a + b)(a - b) = a2 - b2
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
- (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
Vejamos a aplicação dessas fórmulas na álgebra usando o seguinte exemplo,
Exemplo: Usando a fórmula (a - b)2 em álgebra, encontre o valor de (101)2 .
Solução:
Dado: (101)2 = (100 + 1)2
Usando a fórmula de álgebra (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Temos:
(100 + 1)2 = (100)2 + 2(1) (100) + (1)2
(101)2 = 10201
Operações algébricas
As operações básicas abordadas na álgebra são adição, subtração, multiplicação e divisão.
- Adição: Para a operação de adição em álgebra, duas ou mais expressões são separadas por um sinal de mais (+) entre elas.
- Subtração: Para a operação de subtração em álgebra, duas ou mais expressões são separadas por um sinal de menos (-) entre elas.
- Multiplicação: Para a operação de multiplicação em álgebra, duas ou mais expressões são separadas por um sinal de multiplicação ( . ) "Usamos ponto no lugar do x para nao confundir com a variável." .
- Divisão: Para a operação de divisão em álgebra, duas ou mais expressões são separadas por um sinal "/" entre elas.
Regras básicas e propriedades da álgebra
As regras básicas ou propriedades da álgebra para variáveis, expressões algébricas ou números reais a, b e c são dados abaixo,
- Propriedade Comutativa da Adição: a + b = b + a
- Propriedade comutativa da multiplicação : a × b = b × a
- Propriedade Associativa da Adição : a + (b + c) = (a + b) + c
- Propriedade associativa da multiplicação : a × (b × c) = (a × b) × c
- Propriedade distributiva : a × (b + c) = (a × b) + (a × c), ou, a × (b - c) = (a × b) - (a × c)
- Recíproco : Recíproco de a = 1/a
- Propriedade de identidade aditiva : a + 0 = 0 + a = a
- Propriedade de identidade multiplicativa : a × 1 = 1 × a = a
- Aditivo Inverso : a + (-a) = 0
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