Leis comutativas, associativas e distributivas

Leis comutativas

As "Leis Comutativas" dizem que podemos trocar os números e ainda obter a mesma resposta...

... quando adicionamos :

a + b  =  b + a

Exemplo:

 

... ou quando multiplicamos :

a × b  =  b × a

Exemplo:

 

Porcentagens também!

Como a × b  =  b × a também é verdade que:

a% de b  =  b% de a

Exemplo: quanto é 8% de 50?

8% de 50 = 50% de 8
  = 4

 

Por que "comutativo "...?

Porque os números podem ir e vir como um passageiro .

Leis Associativas

As "Leis Associativas" dizem que não importa como agrupamos os números (ou seja, qual calculamos primeiro)...

... quando adicionamos :

(a + b) + c  =  a + (b + c)

... ou quando multiplicamos :

(a × b) × c  =  a × (b × c)

Exemplos:

Esse:	(2 + 4) + 5  = 6 + 5  = 11
Tem a mesma resposta que esta:	2 + (4 + 5)  = 2 + 9 = 11

Esse:	(3 × 4) × 5 =  12 × 5 =  60
Tem a mesma resposta que esta:	3 × (4 × 5)  = 3 × 20  =  60

Às vezes é mais fácil somar ou multiplicar em uma ordem diferente:

Quanto é 19 + 36 + 4?

19 + 36 + 4 = 19 + (36 + 4)  
= 19 + 40 = 59

Ou para reorganizar um pouco:

Quanto é 2 × 16 × 5?

2 × 16 × 5  = (2 × 5) × 16 = 10 × 16 = 160  

 

Lei Distributiva

A "Lei Distributiva" é a MELHOR de todas, mas precisa de muita atenção.

Isto é o que nos permite fazer:

3 lotes de (2+4) é o mesmo que 3 lotes de 2 mais 3 lotes de 4

Assim, o 3× pode ser “distribuído” pelo 2+4 , em 3×2 e 3×4

E escrevemos assim:

a × (b + c) = a × b + a × c

Faça você mesmo os cálculos:

• 3 × ( 2 + 4 ) = 3 × 6  =  18
• 3×2 + 3×4 = 6 + 12 =  18

De qualquer maneira teremos a mesma resposta.

Teremos a mesma resposta quando:

• multiplicar um número por um grupo de números somados ou
• cada um multiplica separadamente e depois soma

Usos:

Às vezes é mais fácil quebrar uma multiplicação difícil:

Exemplo: Quanto é 6 × 204?

6 × 204 = 6 × 200 + 6 × 4  
= 1.200 + 24  
= 1.224

Ou para combinar:

Exemplo: Quanto é 16 × 6 + 16 × 4?

16 × 6 + 16 × 4 = 16 × (6+4) 
= 16 × 10 
= 160

Podemos usá-lo na subtração também:

Exemplo: 26×3 - 24×3

26×3 - 24×3 = (26 - 24) × 3  
= 2 × 3  
= 6

Nós também poderíamos usá-lo para uma longa lista de adições:

Exemplo: 6×7 + 2×7 + 3×7 + 5×7 + 4×7

6 ×7 + 2 ×7 + 3 × 7 + 5 ×7 + 4 ×7
= (6+2+3+5+4) × 7
= 20 × 7
= 140

 E essas são as Leis. . .

. . . mas não vá muito longe!

A Lei Comutativa não funciona para subtração ou divisão:

Exemplo:

• 12/3 = 4 , mas
• 3/12 = ¼

 A Lei Associativa não funciona para subtração ou divisão:

Exemplo:

• (9 – 4) – 3 = 5 – 3 = 2 , mas
• 9 – (4 – 3) = 9 – 1 = 8

 A Lei Distributiva não funciona para divisão:

Exemplo:

• 24 / (4 + 8) = 24 / 12 = 2 , mas
• 24/4 + 24/8 = 6 + 3 = 9

Resumo

Leis comutativas:	a + b  =  b + a a × b  =  b × a
Leis Associativas:	(a + b) + c  =  a + (b + c) (a × b) × c  =  a × (b × c)
Lei Distributiva:	a × (b + c) = a × b + a × c