Introdução aos Logaritmos

Em sua forma mais simples, um logaritmo responde à pergunta:

Quantos de um número se multiplicam para formar outro número?

Exemplo: Quantos 2 se multiplicam para formar 8 ?

Resposta: 2 × 2 × 2 = 8 , então tivemos que multiplicar 3 de 2 para obter 8

Então o logaritmo é 3

Como escrevê-lo

Nós escrevemos assim:

log ₂ (8) = 3

 Então essas duas coisas são iguais:

O número que multiplicamos é chamado de "base", então podemos dizer:

• "o logaritmo de 8 com base 2 é 3"
• ou "log base 2 de 8 é 3"
• ou "o log de base 2 de 8 é 3"

Observe que estamos lidando com três números:

• A base : o número que estamos multiplicando (um "2" no exemplo acima)
• com que frequência usá-lo em uma multiplicação (3 vezes, que é o logaritmo )
• O número que queremos obter (um "8")

Mais exemplos

Exemplo: O que é log ₅ (625) ... ?

Estamos perguntando "quantos 5 precisam ser multiplicados para obter 625?"

5 × 5 × 5 × 5 = 625 , então precisamos de 4 números 5.

Resposta: log ₅ (625) = 4

Exemplo: O que é log ₂ (64) ... ?

Estamos perguntando "quantos 2 precisam ser multiplicados para obter 64?"

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 , então precisamos de 6 dos 2

Resposta: log₂ (64) = 6

Expoentes

Expoentes e logaritmos estão relacionados, vamos descobrir como ...

O expoente diz quantas vezes usar o número em uma multiplicação. Neste exemplo: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8 (2 é usado 3 vezes em uma multiplicação para obter 8)

Portanto, um logaritmo responde a uma pergunta como esta:

Desta maneira:

O logaritmo nos diz qual é o expoente!

Nesse exemplo, a "base" é 2 e o "expoente" é 3:

Assim, o logaritmo responde à pergunta:

Qual expoente precisamos
(para um número se tornar outro número) ?

O caso geral é:

 

Exemplo: Quanto é log ₁₀ (100) ... ?

10 ² = 100

Portanto, um expoente de 2 é necessário para transformar 10 em 100 e:

log ₁₀ (100) = 2

Exemplo: O que é log ₃ (81) ... ?

3 ⁴ = 81

Portanto, um expoente de 4 é necessário para transformar 3 em 81 e:

log ₃ (81) = 4

 

Logaritmos Comuns: Base 10

Às vezes, um logaritmo é escrito sem base, assim:

log(100)

Isso geralmente significa que a base é realmente 10 .

É chamado de "logaritmo comum". Os engenheiros adoram usá-lo.

Em uma calculadora, é o botão "log".

É quantas vezes precisamos usar 10 em uma multiplicação, para obter o número desejado.

Exemplo: log(1000) = log ₁₀ (1000) = 3

 

Logaritmos Naturais: Base "e"

Outra base muito utilizada é e (número de Euler) que é aproximadamente 2,71828.

Isso é chamado de "logaritmo natural". Os matemáticos usam muito isso.

Em uma calculadora, é o botão "ln".

É quantas vezes precisamos usar "e" em uma multiplicação, para obter o número desejado.

Exemplo: ln(7,389) = log _e ( 7,389 ) ≈ 2

Porque 2,71828 ² ≈ 7,389

Mas às vezes há confusão...!

Os matemáticos podem usar "log" (em vez de "ln") para significar o logaritmo natural. Isso pode causar confusão:

Exemplo	Engenheiro pensa	O Matemático Pensa
log(50)	log10 (50)	log e (50)	confusão
ln(50)	log e (50)	log e (50)	sem confusão
log 10 (50)	log10 (50)	log10 (50)	sem confusão

Portanto, tenha cuidado ao ler "log" para saber a que base eles pertencem!

 

Logaritmos podem ter decimais

Todos os nossos exemplos usaram logaritmos de números inteiros (como 2 ou 3), mas os logaritmos podem ter valores decimais como 2,5 ou 6.081, etc.

Exemplo: quanto é log ₁₀ (26) ... ?

Pegue sua calculadora, digite 26 e aperte log A resposta é: 1.41497...

O logaritmo está dizendo que 10 ^1,41497... = 26
(10 com um expoente de 1,41497... é igual a 26)

Isto é o que parece em um gráfico: Veja como a linha é bonita e suave.

logaritmos negativos

−	Negativo? Mas os logaritmos lidam com a multiplicação. Qual é o oposto de multiplicar? Dividir!

Um logaritmo negativo significa quantas vezes dividir pelo número.

Podemos ter apenas uma divisão:

Exemplo: Quanto é log ₈ (0,125) ... ?

Bem, 1 ÷ 8 = 0,125 ,

Então log₈ (0,125) = −1

Ou muitas divisões:

Exemplo: Quanto é log ₅ (0,008) ... ?

1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5 ^-3 ,

Então log₅ (0,008) = −3

Tudo faz sentido

Multiplicar e Dividir fazem parte do mesmo padrão simples.

Vejamos alguns logaritmos de Base 10 como exemplo:

	Número	Quantos 10s	Logaritmo de base 10
	.. etc..
	1000	1 × 10 × 10 × 10	log 10 (1000)	= 3
	100	1 × 10 × 10	log 10 (100)	= 2
	10	1 × 10	log 10 (10)	= 1
	1	1	log 10 (1)	= 0
	0,1	1 ÷ 10	log 10 (0,1)	= −1
	0,01	1 ÷ 10 ÷ 10	log 10 (0,01)	= −2
	0,001	1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10	log 10 (0,001)	= −3
	.. etc..

Olhando para essa tabela, veja como os logaritmos positivos, zero ou negativos são realmente parte do mesmo padrão (bastante simples).

 A palavra

"Logaritmo" é uma palavra criada pelo matemático escocês John Napier (1550-1617), a partir da palavra grega logos que significa "proporção, razão ou palavra" e arithmos que significa "número", ... que juntos formam "número-razão" !