Fatoração de números

 

Fatoração

O que são os "fatores" de um número?

"Fatores" são os números inteiros que você multiplica para obter outro número inteiro. Por exemplo, os fatores de 15 são 3 e 5 , porque 3 × 5 = 15 . Alguns números têm mais de uma fatoração (mais de uma forma de serem fatorados). Por exemplo, 12 pode ser fatorado como 1 × 1 2, 2 × 6 e também como 3 × 4 .

O que é um número primo? O que é um número "composto"?

Um número que só pode ser fatorado como 1 vezes ele mesmo é chamado de "primo". Os primeiros primos são 2 , 3 , 5 , 7 , 11 e 13 . Números que possuem fatores "não triviais" (isto é, números que possuem fatores diferentes de apenas 1 e ele mesmo) são números "compostos", porque são compostos de fatores não triviais.

1 é um número primo ou composto?

O número 1 não é considerado primo e geralmente não é incluído nas fatorações, porque 1 está em tudo. Mas 1 tem apenas a si mesmo (duas vezes!) como fatores, então também não é um número composto. O número 1 é um pouco chato neste contexto, por isso é quase sempre ignorado.

Qual é a fatoração prima de um determinado número?

A fatoração prima de um número é o produto de todos os fatores primos de um dado número, incluindo o número de vezes que cada um dos primos é um fator. A fatoração primária não inclui 1 , mas inclui todas as cópias de todos os fatores primos. Ao fatorar um número, na maioria das vezes você deseja encontrar a "fatoração primária" desse número. Por exemplo, a fatoração primária de 8 é 2 × 2 × 2 , não apenas " 2 ". Sim, 2 é o único fator, mas você precisa de três cópias dele para multiplicar de volta para 8 , então a fatoração primária inclui todas as três cópias.

fatores primos de 8: 2

fatoração prima de 8: 2 × 2 × 2 = 2 3

Por outro lado, a fatoração primária inclui APENAS os fatores primos, não quaisquer produtos desses fatores. Por exemplo, embora 2 × 2 = 4 , e embora 4 seja um divisor de 8 , 4 NÃO está na fatoração PRIME de 8 . Isso ocorre porque 8 NÃO é igual a 2 × 2 × 2 × 4 .

Essa duplicação acidental de fatores é outra razão pela qual a fatoração primária costuma ser melhor: ela evita contar qualquer fator muitas vezes.

Suponha que você precise encontrar a fatoração primária de 24 . Às vezes, um aluno listará apenas todos os divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 . Em seguida, o aluno fará algo como o produto de todos esses divisores:

1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 12 × 24

Mas isso é igual a 331776 , não 24 . Portanto, é melhor manter a fatoração primária, mesmo que o problema não a exija, a fim de evitar a omissão de um fator ou a duplicação excessiva de um.

No caso de 24 , você pode encontrar a fatoração de números primos tomando 24 e dividindo - o pelo menor número primo que compõe 24 : 24 ÷ 2 = 12 . (Na verdade, a parte "menor" não é tão importante quanto a parte "primária"; a parte "menor" é principalmente para facilitar seu trabalho, porque dividir por números menores é mais simples.)

Agora divida o menor número que cabe em 12 : 12 ÷ 2 = 6 .

Agora divida o menor número que cabe em 6 : 6 ÷ 2 = 3 . E, como 3 é primo, você acabou de fatorar e a fatoração prima é 2 × 2 × 2 × 3 .

Qual é uma maneira fácil de fazer a fatoração prima?

Uma maneira fácil é dividindo o numero pelos fatores primos, exemplo de fatoração do numero 24.

O bom dessa divisão é que, quando você terminar, a fatoração prima é o produto de todos os números ao redor. Os fatores estão circulados em vermelho acima.

• Encontre a fatoração primária de 1050 .

A resposta é: 1050 = 2 × 3 × 5 × 5 × 7

Alguns textos preferem que respostas como esta sejam escritas usando notação exponencial , caso em que a resposta final seria escrita como 2×3×5 2 ×7 .

Qual é a diferença entre encontrar os fatores primos de um número e encontrar a fatoração prima desse número?

Encontrar os fatores primos de um número começa com a divisão do número por vários primos, até encontrar todos os primos que se dividem nesse número; o resultado é uma lista de números primos que são fatores. Por outro lado, encontrar a fatoração prima do número começa com o mesmo processo de divisão, mas termina com um produto dos fatores primos, mostrando cada cópia de cada primo necessária para produzir o número original. Para o número 900 , a diferença é assim:

fatores primos: 2, 3, 5
fatoração prima: 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5

Quais são algumas regras de divisibilidade que podem ajudar nas fatorações de números primos?

Existem muitas regras de divisibilidade que podem ajudá-lo com fatorações de números primos, mas as mais simples de usar são estas:

• Se o número for par, então é divisível por 2 .
• Se a soma dos dígitos do número resultar em um número divisível por 3 , o próprio número será divisível por 3 .
• Se o número terminar com 0 ou 5 , ele é divisível por 5 .

Claro, se o número for divisível duas vezes por 2 , então é divisível por 4 ; se for divisível por 2 e por 3 , então é divisível por 6 ; e se for divisível duas vezes por 3 (ou se a soma dos dígitos for divisível por 9 ), então é divisível por 9 . Mas como você está encontrando a fatoração prima, você realmente não se importa com essas regras de divisibilidade não primo.

Se você ficar sem primos pequenos e não tiver terminado de fatorar, continue tentando primos cada vez maiores ( 11, 13, 17, 19, 23 , etc.) maior do que você está dividindo.

Por que você para de tentar divisores primos quando esses primos são maiores que a raiz quadrada do que resta?

Se o seu primo não se divide em qualquer que seja o resultado que você está tentando fatorar, os únicos divisores primos potenciais desse resultado são números primos ainda maiores. Como o quadrado do seu primo é maior do que o número pelo qual você está tentando dividir, um primo maior deve ter como resto um número ainda menor do que o seu primo. O único número menor restante, uma vez que todos os primos menores foram eliminados, é 1 . Portanto, o número restante deve ser primo e pronto.