Expressões Racionais

Uma expressão racional é simplesmente um quociente de dois polinômios. Ou, em outras palavras, é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios.

É como uma fração, mas com polinômios.

Outros exemplos:

x 3 + 2x − 16x2

2x + 9x 4 − x 2

Também

12 − x 2	O polinômio superior é "1", o que é bom.
2 x 2 + 3	É sim! Como também poderia ser escrito: 2 x 2 + 31

Mas não

	2 − √(x)4 − x	o topo não é um polinômio (uma raiz quadrada de uma variável não é permitida)
	1 − x1 − 1/x	1/x não é permitido em um polinômio

Em geral

Uma função racional é a razão de dois polinômios P(x) e Q(x) como este

f(x) =P(x)Q(x)

Exceto que Q(x) não pode ser zero (e em qualquer lugar que Q(x)=0 é indefinido)

Encontrando Raízes de Expressões Racionais

Uma "raiz" (ou "zero") é onde a expressão é igual a zero :

Para encontrar as raízes de uma expressão racional, precisamos apenas encontrar as raízes do polinômio superior , desde que a expressão racional esteja em "menores termos".

Então, o que significa "Termos mais baixos"?

Termos mais baixos

Bem, uma fração está em termos mais baixos quando o topo e a base não têm fatores comuns.

Exemplo: Frações

26 não está nos termos mais baixos,
pois 2 e 6 têm o fator comum "2"

Mas:

13 está em termos mais baixos,
pois 1 e 3 não têm fatores comuns

Da mesma forma, uma expressão racional está em termos mais baixos quando o topo e a base não têm fatores comuns.

Exemplo: Expressões Racionais

x ³ +3 x ²2x não está nos termos mais baixos,
pois x ³ +3x ² e 2x têm o fator comum "x"

Mas

x ² +3x2 está em termos mais baixos,
pois x ² +3x e 2 não têm fatores comuns

Assim, para encontrar as raízes de uma expressão racional:

• Reduza a expressão racional aos termos mais baixos,
• Em seguida, encontre as raízes do polinômio superior

Adequado x Impróprio

As frações podem ser próprias, impróprias ou mistas :

(Não há nada de errado com "Impropria", é apenas um tipo diferente)

Uma Expressão Racional também pode ser própria ou imprópria !

Mas o que torna um polinômio maior ou menor?

O Grau!

Para um polinômio com uma variável, o Grau é o maior expoente dessa variável.

Exemplos de graduação:

4x		O Grau é 1 (uma variável sem um expoente na verdade tem um expoente de 1)
4x 3 − x + 3		O Grau é 3 (maior expoente de x)

Então é assim que se sabe se uma expressão racional é própria ou imprópria :

Própria : o grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Apropriado:

1x + 1

grau(numerador) < grau(denominador)

Outro exemplo:xx ³ − 1

Imprópria : o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador.

Impróprio:

x 2 − 1x + 1

graus(superior) ≥ graus(inferior)

Outro exemplo:4x ³ - 35 x ³ + 1

 

Se o polinômio for impróprio, podemos simplificá-lo.

Assíntotas

As expressões racionais podem ter assíntotas (uma linha que uma curva se aproxima à medida que se dirige para o infinito) :

Exemplo: (x ² -3x)/(2x-2)

O gráfico de (x 2 -3x)/(2x-2) tem: Uma assíntota vertical em x=1 Uma assíntota oblíqua: y=x/2-1

Uma expressão racional pode ter:

• qualquer número de assíntotas verticais,
• apenas zero ou uma assíntota horizontal,
• apenas zero ou uma assíntota oblíqua (inclinada)

Encontrando assíntotas horizontais ou oblíquas

É bem fácil encontrá-los...

... mas depende do grau do polinômio superior versus inferior .

Aquele com o maior grau crescerá mais rápido.

Assim como "Própria" e "Impropia", mas na verdade existem quatro casos possíveis, mostrados abaixo.

 

(Mostro um valor de teste de x=1000 para cada caso, só para mostrar o que acontece)

 

Vejamos cada um desses exemplos separadamente:

Grau do topo menor que o inferior

O polinômio inferior dominará e haverá uma assíntota horizontal em zero.

Exemplo: f(x) = (3x+1)/(4x ² +1)

Quando x é 1000:

f(1000) = 3001/4000001 = 0,00075...

E à medida que x aumenta, f(x) se aproxima de 0

 

O grau do topo é igual ao inferior

Nenhum dos dois domina... a assíntota é definida pelos termos líderes de cada polinômio.

Exemplo: f(x) = (3x+1)/(4x+1)

Quando x é 1000:

f(1000) = 3001/4001 = 0,750...

E à medida que x aumenta, f(x) se aproxima de 3/4

Por que 3/4? Porque "3" e "4" são os "coeficientes líderes" de cada polinômio

4x³ + 2x² − 7

Os termos estão em ordem do maior para o menor expoente

(Tecnicamente o 7 é uma constante, mas aqui é mais fácil pensar em todos eles como coeficientes.)

O método é fácil:

Divida o coeficiente líder do polinômio superior pelo coeficiente líder do polinômio inferior.

Aqui está outro exemplo:

Exemplo: f(x) = (8x ³ + 2x ² − 5x + 1)/(2x ³ + 15x + 2)

Os graus são iguais (ambos têm grau 3)

Basta olhar para os coeficientes líderes de cada polinômio:

• No numerador temos 8 (de 8x ³ )
• No denominador temos 2 (de 2x ³ )

Portanto, há uma assíntota horizontal em 8/2 = 4

 

O grau do numerador é 1 maior que o inferior

Este é um caso especial: existe uma assíntota oblíqua , e precisamos encontrar a equação da reta.

Para resolver use divisão polinomial: divida a parte de cima pela de baixo para encontrar o quociente (ignore o restante).

Exemplo: f(x) = (3x² +1)/(4x+1)

O grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 1, então haverá uma assíntota oblíqua

Precisamos dividir 3x ² +1 por 4x+1 usando a divisão polinomial:

Ignorando o restante, obtemos a solução (do numerador da divisão):

Linha assíntota:   34x −316

 

O grau do numerador é mais de 1 maior que o denominador

Quando o polinômio superior é mais de 1 grau maior que o polinômio inferior, não há assíntota horizontal ou oblíqua .

Exemplo: f(x) = (3x ³ +1)/(4x+1)

O grau do numerador é 3, e o grau do denominador é 1.

O topo é mais de 1 grau mais alto que o fundo, então não há assíntota horizontal ou oblíqua .

Encontrando assíntotas verticais

Existe outro tipo de assíntota, causada apenas pelo polinômio inferior .

Mas primeiro: certifique-se de que a expressão racional esteja nos termos mais baixos!

Sempre que o polinômio inferior for igual a zero (qualquer uma de suas raízes), obtemos uma assíntota vertical.

Exemplo: (x ² -3x)/(2x-2)

O polinômio inferior é 2x-2 , que fatora em:

2(x−1)

E o fator (x−1) significa que há uma assíntota vertical em x=1 (porque 1−1=0)

Um Exemplo Completo

Exemplo: (x−1)/(x ² −9)

Em primeiro lugar, podemos fatorar o polinômio inferior (é a diferença de dois quadrados):

x−1(x+3)(x−3)

Agora podemos ver:

As raízes do polinômio superior são: +1 (é aqui que ele cruza o eixo x )

As raízes do polinômio inferior são: -3 e +3 (essas são assíntotas verticais )

Ele cruza o eixo y quando x = 0, então vamos definir x como 0:

Cruza o eixo y em:0-1(0+3)(0−3)=−1−9=19

Também sabemos que o grau do numerador é menor que o grau do denominador, então existe uma assíntota horizontal em 0.