Expoentes fracionários

Também chamados de "Radicais" ou "Expoentes Racionais"

Expoentes de números inteiros

Primeiro, vamos olhar para o número expoente inteiro:

O expoente de um número diz quantas vezes usar o número em uma multiplicação.

Neste exemplo: 8 ² = 8 × 8 = 64

Em palavras: 8 ² poderia ser chamado de "8 elevado à segunda potência", "8 elevado a 2" ou simplesmente "8 elevado ao quadrado"

Outro exemplo: 5 ³ = 5 × 5 × 5 = 125

Expoentes fracionários

Mas e se o expoente for uma fração?

Um expoente de 12 é uma raiz quadrada Um expoente de 13 é uma raiz cúbica Um expoente de 14 é uma raiz 4 E assim por diante!

Por que?

Vamos ver por que em um exemplo.

Primeiro, a Leis dos Expoentes nos diz como lidar com expoentes quando multiplicamos:

Exemplo: x² x³ = (xx)(xxx) = xxxxx = x ⁵

O que mostra que x ² x ³ = x ⁽²⁺³⁾ = x ⁵

Então, vamos tentar isso com expoentes fracionários:

Exemplo: Quanto é 9 ^½ × 9 ^½ ?

9 ^½ .  9 ^½ = 9 ^(½+½) = 9 ⁽¹⁾ = 9

Então 9 ^½ vezes ele mesmo dá 9.

Outros exemplos:

√9 . √9 = 9

E:

9 ^½ .  9 ^½ = 9

Então 9 ^½ é igual a √9

Tente Outra Fração

Vamos tentar de novo, mas com um expoente de um quarto (1/4):

Exemplo:

16 ^¼ . 16 ^¼ . 16 ^¼ . 16 ^¼ = 16 ^{(¼+¼+¼+¼)} = 16 ⁽¹⁾ = 16

Então 16 ^¼ usado 4 vezes em uma multiplicação dá 16,

e assim 16^¼ é uma raiz 4 de 16

Regra geral

Funcionou para ½ , funcionou com ¼ , na verdade funciona geralmente:

x ^1/n = a enésima raiz de x

Em outras palavras:

Um expoente fracionário como 1/n significa tirar a enésima raiz :

x ^1/n  =  n√x

Exemplo: Quanto é 27 ^1/3 ?

Resposta: 27 ^1/3 = 3√27 = 3

E as frações mais complicadas?

E quanto a um expoente fracionário como 4 ^3/2 ?

Isso está realmente dizendo para fazer um cubo (3) e uma raiz quadrada (1/2), em qualquer ordem.

Deixe-me explicar.

Uma fração (como m/n ) pode ser dividida em duas partes:

• uma parte de número inteiro ( m ) , e
• uma fração ( 1/n ) parte

Então, como m/n = m × (1/n), podemos fazer isso:

x ^m/n  = x ^{(m × 1/n)}   = (x ^m ) ^1/n =  n√x^m

A ordem não importa, então também funciona para m/n = (1/n) × m :

x ^m/n  = x ^{(1/n × m)}   = (x ^1/n ) ^m = (n√x ) ^m

E obtemos isto:

Um expoente fracionário como m/n significa:

Faça a m-ésima potência e , em seguida, obtenha a n-ésima raiz :x ^m/n  = n√x^m

ou

Pegue a n-ésima raiz e , em seguida, faça a m-ésima potência :x ^m/n  = (n√x ) ^m

 

Alguns exemplos:

Exemplo: Quanto é 4 ^3/2 ?

4 ^3/2 = 4 ^3.(1/2) = √(4 ³ ) = √(4.4.4) = √(64) = 8

ou

4 ^3/2 = 4 ^{(1/2) × 3} = (√4) ³ = (2) ³ = 8

De qualquer maneira obtém o mesmo resultado.

Exemplo: Quanto é 27 ^4/3 ?

27 ^4/3 = 27 ^{4 . (1/3)} =3√27⁴ =3√531441 = 81

ou

27 ^4/3 = 27 ^(1/3)×4 = (3√27 ) ⁴ = (3) ⁴ = 81

Com certeza foi mais fácil o segundo modo!