FUNÇÃO DO 1º GRAU

Por volta de 2000 a.C., egípcios e babilônios já possuíam  métodos para a resolução de equações do 1º grau. Entre os egípcios, destacou-se Diofanto de Alexandria, cuja principal obra, Arithmetica, procurava a generalização dos métodos a partir de problemas numéricos. Contudo, foi Fibonacci, influenciado pelas técnicas desenvolvidas pelos árabes, quem documentou soluções gerais para a resolução de equações do 1º grau, em sua obra Liber Abacci.

1. Função do 1º grau

As funções do 1o grau estão presentes em diversas situações do dia-a-dia. Vejamos este exemplo.

Uma loja de eletrodomésticos contrata vendedores com as seguintes condições salariais: um fixo de R$ 100,00 mais 5% sobre as vendas efetuadas.

Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final de cada mês. Lembremos que: 5%  0,05. Chamemos o total do salário de y. Se o vendedor fizer uma venda de R$ 500,00, receberá:

y  = 100 + 0,05 . 500 = R$ 125,00

Podemos usar uma tabela para representar esta situação:

De modo geral, se ele vender x, teremos que:

A fórmula y = 100 + 0,05x expressa uma função do 1º grau. A representação gráfica de uma função deste tipo sempre será uma reta:

Definição:

Chama-se função do 1º grau a função f : lR → lR definida por y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0.  a é o coeficiente angular da reta e determina sua inclinação, b é o coeficiente linear da reta e determina a intersecção da reta com o eixo y.

A função do 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. Considere sempre a forma genérica y = ax + b.

1.1 Função constante: se a  0, então y = b, b ∈ lR. Desta maneira, y = 4 é função constante, pois, para qualquer valor de x, o valor de y ou f(x) será sempre 4.

Função identidade: se a = 1 e b = 0, então y =  x. Nesta função, x e y têm sempre os mesmos valores. Graficamente temos:

A reta y = x ou f(x) = x é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.

Mas, se a = -1 e b = 0, temos então y = -x. A reta determinada por esta função é a bissetriz dos quadrantes pares, conforme mostra o gráfico abaixo.

x e y têm valores iguais em módulo, porém com sinais contrários.

Função linear: é a função do 1º grau quando b = 0, a ≠ 0 e a ≠ 1, a e b  IR. Exemplos:

f(x) = 5x; y = 1/2x; f(x) = -2x; y = 10x

Função afim: é a função do 1º grau quando a ≠ 0, b ≠ 0, a e b ∈ IR. Exemplos:

f(x) = 3x + 1; y = 4x - 2; f(x) = - x + 5