Diretamente proporcional
e inversamente proporcional

Diretamente proporcional: à medida que uma quantidade aumenta, outra quantidade aumenta na mesma proporção.

∝

O símbolo de "diretamente proporcional" é ∝ (não confunda com o símbolo de infinito ∞ )

 

Exemplo: você recebe R$ 20 por hora

Seu salario é diretamente proporcional a quantas horas você trabalha

Trabalhe mais horas, ganhe mais; em proporção direta.

Isso poderia ser escrito:

Ganhos ∝ Horas trabalhadas

• Se você trabalhar 2 horas, receberá R$ 40
• Se você trabalhar 3 horas, receberá R$ 60
• etc...

Constante de Proporcionalidade

A "constante de proporcionalidade" é o valor que relaciona os dois valores

Exemplo: você recebe R$ 20 por hora

A constante de proporcionalidade é 20 porque:

Rendimento = 20 × Horas trabalhadas

Isso pode ser escrito:

y = k x

Onde k é a constante de proporcionalidade

Exemplo: y é diretamente proporcional a x, e quando x=3 então y=15.
Qual é a constante de proporcionalidade?

Eles são diretamente proporcionais, então:

y = k x

Coloque o que sabemos (y=15 e x=3):

15 = k × 3

Resolva (dividindo ambos os lados por 3):

15/3 = k × 3/3

5 = k × 1

k = 5

A constante de proporcionalidade é 5:

y = 5x

Quando conhecemos a constante de proporcionalidade, podemos responder a outras perguntas

Exemplo: 

Qual é o valor de y quando x = 9?

y = 5 × 9 = 45

Qual é o valor de x quando y = 2?

2 = 5x

x = 2/5 = 0,4

Inversamente proporcional

Inversamente proporcional : quando um valor diminui na mesma proporção que o outro aumenta.

Exemplo: velocidade e tempo de viagem

A velocidade e o tempo de viagem são inversamente proporcionais porque quanto mais rápido formos, menor será o tempo.

• À medida que a velocidade aumenta, o tempo de viagem diminui
• E conforme a velocidade diminui, o tempo de viagem aumenta

Esse:y é inversamente proporcional a x

É a mesma coisa que:y é diretamente proporcional a 1/x

Que pode ser escrito:

y =kx

 

Exemplo: 4 pessoas podem pintar uma cerca em 3 horas.

Quanto tempo levará 6 pessoas para pintá-lo?

(Suponha que todos trabalhem no mesmo ritmo)

É uma proporção inversa:

• À medida que o número de pessoas aumenta, o tempo de pintura diminui.
• À medida que o número de pessoas diminui, o tempo de pintura aumenta.

Podemos usar:

t = k/n

Onde:

• t = número de horas
• k = constante de proporcionalidade
• n = número de pessoas

"4 pessoas podem pintar uma cerca em 3 horas" significa que t = 3 quando n = 4

3 = k/4

3 × 4 = k × 4/4

12 = k

k = 12

Então agora sabemos:

t = 12/n

E quando n = 6:

t = 12/6 = 2 horas

Assim, 6 pessoas levarão 2 horas para pintar a cerca.

 

Quantas pessoas são necessárias para completar o trabalho em meia hora?

½ = 12/n

n = 12 / ½ = 24

Portanto, são necessárias 24 pessoas para concluir o trabalho em meia hora.
(Supondo que eles não fiquem no caminho uns dos outros!)

 Proporcional a...

Também é possível ser proporcional a um quadrado, cubo, exponencial ou outra função!

Exemplo: Proporcional a x²

Uma pedra é largada do topo de uma torre alta.

A distância que cai é proporcional ao quadrado do tempo de queda.

A pedra cai 19,6 m após 2 segundos, quanto ela cai após 3 segundos?

 

Podemos usar:

d = kt ²

Onde:

• d é a distância caída e
• t é a hora da queda

 

Quando d = 19,6 então t = 2

19,6 = k × 2 ²

19,6 = 4k

k = 4,9

Então agora sabemos:

d = 4,9t ²

E quando t = 3:

d = 4,9 × 3 ²

d = 44,1

Portanto, caiu 44,1 m após 3 segundos.

Quadrado inverso

Quadrado Inverso : quando um valor diminui com o quadrado do outro valor.

Exemplo: luz e distância

Quanto mais longe estamos de uma luz, menos brilhante ela é.

Na verdade, o brilho diminui com o quadrado da distância. Porque a luz está se espalhando em todas as direções.

Portanto, um brilho de "1" a 1 metro é apenas "0,25" a 2 metros (o dobro da distância passa a ter um quarto do brilho) e assim por diante.